Podizanje kompleksnog broja na prirodni stepen

U ovoj publikaciji ćemo razmotriti kako se kompleksni broj može podići na stepen (uključujući korištenje De Moivreove formule). Teorijski materijal je popraćen primjerima radi boljeg razumijevanja.

Podizanje kompleksnog broja na stepen

Prvo, zapamtite da kompleksni broj ima opći oblik: z = a + bi (algebarski oblik).

Sada možemo preći direktno na rješavanje problema.

Kvadratni broj

Možemo predstaviti stepen kao proizvod istih faktora, a zatim pronaći njihov proizvod (i to zapamtiti i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Primer 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Također možete koristiti, odnosno kvadrat zbira:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Bilješka: Na isti način, ako je potrebno, mogu se dobiti formule za kvadrat razlike, kocku zbira/razlike itd.

Nth stepen

Podići kompleksan broj z u naturi n mnogo lakše ako se predstavi u trigonometrijskom obliku.

Podsjetimo da, općenito, notacija broja izgleda ovako: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Za eksponencijalnost možete koristiti De Moivreova formula (tako nazvan po engleskom matematičaru Abrahamu de Moivreu):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Formula se dobija pisanjem u trigonometrijskom obliku (moduli se množe, a argumenti dodaju).

primjer 2

Podići kompleksan broj z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) do osmog stepena.

rastvor

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).