Sistem linearnih algebarskih jednadžbi

U ovoj publikaciji ćemo razmotriti definiciju sistema linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE), kako on izgleda, koje vrste postoje, kao i kako ga predstaviti u matričnom obliku, uključujući i prošireni.

Definicija sistema linearnih jednačina

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi (ili skraćeno “SLAU”) je sistem koji generalno izgleda ovako:

• m je broj jednačina;
• n je broj varijabli.
• x₁,x₂,…, x_n – nepoznato;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – koeficijenti za nepoznate;
• b₁, b₂,…, b_m – besplatni članovi.

Indeksi koeficijenata (a_ij) formiraju se na sljedeći način:

• i je broj linearne jednadžbe;
• j je broj varijable na koju se koeficijent odnosi.

SLAU rješenje – takvi brojevi c₁, C₂,…, c_n , u čijoj postavci umjesto x₁,x₂,…, x_n, sve jednačine sistema će se pretvoriti u identitete.

Vrste SLAU

1. Homogena – svi slobodni članovi sistema su jednaki nuli (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogena – ako gore navedeni uslov nije ispunjen.
3. trg – broj jednačina jednak je broju nepoznatih, tj m = n.

   

4. Neodlučan – broj nepoznatih je veći od broja jednačina.

   

5. nadjačana Postoji više jednačina nego varijabli.

   

U zavisnosti od broja rešenja, SLAE može biti:

1. zajednički ima barem jedno rješenje. Štaviše, ako je jedinstven, sistem se naziva definitivnim, a ako postoji više rješenja, naziva se neodređenim.

   

   Gornji SLAE je zajednički, jer postoji barem jedno rješenje: x = 2, y = 3.

2. nespojivo Sistem nema rješenja.

   

   Desne strane jednačine su iste, ali leve nisu. Dakle, rješenja nema.

Matrična notacija sistema

SLAE se može predstaviti u matričnom obliku:

AX = B

• A je matrica formirana koeficijentima nepoznatih:

  

• X – stupac varijabli:

  

• B – kolona slobodnih članova:

  

primjer

Predstavljamo sistem jednačina u nastavku u matričnom obliku:

Koristeći gornje forme, sastavljamo glavnu matricu sa koeficijentima, kolone sa nepoznatim i slobodnim članovima.

Kompletan zapis datog sistema jednadžbi u matričnom obliku:

Proširena SLAE matrica

Ako na matricu sistema A dodajte kolonu besplatnih članova na desno B, odvajajući podatke okomitom trakom, dobijate proširenu matricu SLAE.

Za gornji primjer, to izgleda ovako:

– oznaka proširene matrice.