sadržaj
U ovoj publikaciji ćemo razmotriti jedan od glavnih koncepata matematičke analize – granicu funkcije: njenu definiciju, kao i razna rješenja sa praktičnim primjerima.
Određivanje granice funkcije
Ograničenje funkcije – vrijednost kojoj teži vrijednost ove funkcije kada njen argument teži graničnoj tački.
Ograničenje rekorda:
- granica je označena ikonom kreč;
- ispod se dodaje kojoj vrijednosti teži argument (varijabla) funkcije. Obično ovo x, ali ne nužno, na primjer:x→1″;
- tada se sama funkcija dodaje s desne strane, na primjer:
Dakle, konačni zapis limita izgleda ovako (u našem slučaju):
Reads like “granica funkcije kako x teži jedinstvu”.
x→ 1 – to znači da “x” dosljedno poprima vrijednosti koje se beskonačno približavaju jedinici, ali se nikada neće poklapati s njom (neće se dostići).
Granice odluke
Sa datim brojem
Hajde da riješimo gornju granicu. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite jedinicu u funkciji (jer x→1):
Stoga, da bismo riješili ograničenje, prvo pokušavamo jednostavno zamijeniti dati broj u funkciju ispod njega (ako x teži određenom broju).
Sa beskonačnošću
U ovom slučaju, argument funkcije raste beskonačno, tj. "X" teži beskonačnosti (∞). Na primjer:
If x→∞, tada data funkcija teži minus beskonačnosti (-∞), jer:
- 3 - 1 = 2
- 3 – 10 = -7
- 3 – 100 = -97
- 3 – 1000 – 997 itd.
Još jedan složeniji primjer
Da biste riješili ovu granicu, također, jednostavno povećajte vrijednosti x i pogledajte “ponašanje” funkcije u ovom slučaju.
- RџSĐRë x = 1,
y = 12 + 3 · 1 – 6 = -2 - RџSĐRë x = 10,
y = 102 + 3 · 10 – 6 = 124 - RџSĐRë x = 100,
y = 1002 + 3 · 100 – 6 = 10294
Dakle, za "X"težnja ka beskonačnosti, funkcija
Sa nesigurnošću (x teži beskonačnosti)
U ovom slučaju govorimo o granicama, kada je funkcija razlomak, čiji su brojnik i nazivnik polinomi. Gde "X" teži beskonačnosti.
Primjer: izračunajmo granicu ispod.
rastvor
Izrazi i u brojniku i u nazivniku teže beskonačnosti. Može se pretpostaviti da će u ovom slučaju rješenje biti sljedeće:
Međutim, nije sve tako jednostavno. Da bismo riješili ograničenje, moramo učiniti sljedeće:
1. Pronađi x na najveći stepen brojioca (u našem slučaju to je dva).
2. Slično, definišemo x na najveći stepen za nazivnik (takođe jednako dva).
3. Sada dijelimo i brojilac i imenilac sa x u višem stepenu. U našem slučaju, u oba slučaja – u drugom, ali da su različiti, trebalo bi uzeti najviši stepen.
4. U rezultirajućem rezultatu, svi razlomci teže nuli, stoga je odgovor 1/2.
Sa nesigurnošću (x teži određenom broju)
Međutim, i brojnik i nazivnik su polinomi, "X" teži određenom broju, a ne beskonačnosti.
U ovom slučaju, uslovno zatvaramo oči pred činjenicom da je imenilac nula.
Primjer: Pronađimo granicu funkcije ispod.
rastvor
1. Prvo, zamijenimo broj 1 u funkciju kojoj "X". Dobijamo nesigurnost forme koju razmatramo.
2. Zatim razlažemo brojilac i imenilac na faktore. Da biste to učinili, možete koristiti skraćene formule za množenje, ako su prikladne, ili.
U našem slučaju, korijeni izraza u brojiocu (
imenilac (
3. Dobijamo ovako izmijenjeno ograničenje:
4. Razlomak se može smanjiti za (
5. Ostaje samo zamijeniti broj 1 u izrazu dobivenom ispod granice: