Koja je granica funkcije

U ovoj publikaciji ćemo razmotriti jedan od glavnih koncepata matematičke analize – granicu funkcije: njenu definiciju, kao i razna rješenja sa praktičnim primjerima.

sadržaj

Određivanje granice funkcije

Ograničenje funkcije – vrijednost kojoj teži vrijednost ove funkcije kada njen argument teži graničnoj tački.

Ograničenje rekorda:

  • granica je označena ikonom kreč;
  • ispod se dodaje kojoj vrijednosti teži argument (varijabla) funkcije. Obično ovo x, ali ne nužno, na primjer:x→1″;
  • tada se sama funkcija dodaje s desne strane, na primjer:

    Koja je granica funkcije

Dakle, konačni zapis limita izgleda ovako (u našem slučaju):

Koja je granica funkcije

Reads like “granica funkcije kako x teži jedinstvu”.

x→ 1 – to znači da “x” dosljedno poprima vrijednosti koje se beskonačno približavaju jedinici, ali se nikada neće poklapati s njom (neće se dostići).

Granice odluke

Sa datim brojem

Hajde da riješimo gornju granicu. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite jedinicu u funkciji (jer x→1):

Koja je granica funkcije

Stoga, da bismo riješili ograničenje, prvo pokušavamo jednostavno zamijeniti dati broj u funkciju ispod njega (ako x teži određenom broju).

Sa beskonačnošću

U ovom slučaju, argument funkcije raste beskonačno, tj. "X" teži beskonačnosti (∞). Na primjer:

Koja je granica funkcije

If x→∞, tada data funkcija teži minus beskonačnosti (-∞), jer:

  • 3 - 1 = 2
  • 3 – 10 = -7
  • 3 – 100 = -97
  • 3 – 1000 – 997 itd.

Još jedan složeniji primjer

Koja je granica funkcije

Da biste riješili ovu granicu, također, jednostavno povećajte vrijednosti x i pogledajte “ponašanje” funkcije u ovom slučaju.

  • RџSĐRë x = 1, y = 12 + 3 · 1 – 6 = -2
  • RџSĐRë x = 10, y = 102 + 3 · 10 – 6 = 124
  • RџSĐRë x = 100, y = 1002 + 3 · 100 – 6 = 10294

Dakle, za "X"težnja ka beskonačnosti, funkcija x2 +3x –6 raste u nedogled.

Sa nesigurnošću (x teži beskonačnosti)

Koja je granica funkcije

U ovom slučaju govorimo o granicama, kada je funkcija razlomak, čiji su brojnik i nazivnik polinomi. Gde "X" teži beskonačnosti.

Primjer: izračunajmo granicu ispod.

Koja je granica funkcije

rastvor

Izrazi i u brojniku i u nazivniku teže beskonačnosti. Može se pretpostaviti da će u ovom slučaju rješenje biti sljedeće:

Koja je granica funkcije

Međutim, nije sve tako jednostavno. Da bismo riješili ograničenje, moramo učiniti sljedeće:

1. Pronađi x na najveći stepen brojioca (u našem slučaju to je dva).

Koja je granica funkcije

2. Slično, definišemo x na najveći stepen za nazivnik (takođe jednako dva).

Koja je granica funkcije

3. Sada dijelimo i brojilac i imenilac sa x u višem stepenu. U našem slučaju, u oba slučaja – u drugom, ali da su različiti, trebalo bi uzeti najviši stepen.

Koja je granica funkcije

4. U rezultirajućem rezultatu, svi razlomci teže nuli, stoga je odgovor 1/2.

Koja je granica funkcije

Sa nesigurnošću (x teži određenom broju)

Koja je granica funkcije

Međutim, i brojnik i nazivnik su polinomi, "X" teži određenom broju, a ne beskonačnosti.

U ovom slučaju, uslovno zatvaramo oči pred činjenicom da je imenilac nula.

Primjer: Pronađimo granicu funkcije ispod.

Koja je granica funkcije

rastvor

1. Prvo, zamijenimo broj 1 u funkciju kojoj "X". Dobijamo nesigurnost forme koju razmatramo.

Koja je granica funkcije

2. Zatim razlažemo brojilac i imenilac na faktore. Da biste to učinili, možete koristiti skraćene formule za množenje, ako su prikladne, ili.

U našem slučaju, korijeni izraza u brojiocu (2x2 – 5x + 3 = 0) su brojevi 1 i 1,5. Stoga se može predstaviti kao: 2(x-1)(x-1,5).

imenilac (x–1) je u početku jednostavno.

3. Dobijamo ovako izmijenjeno ograničenje:

Koja je granica funkcije

4. Razlomak se može smanjiti za (x–1):

Koja je granica funkcije

5. Ostaje samo zamijeniti broj 1 u izrazu dobivenom ispod granice:

Koja je granica funkcije

Ostavite odgovor