Pronalaženje inverzne matrice

U ovoj ćemo publikaciji razmotriti što je inverzna matrica, a također ćemo, koristeći praktični primjer, analizirati kako se ona može pronaći pomoću posebne formule i algoritma za sekvencijalne akcije.

Definicija inverzne matrice

Prvo, prisjetimo se šta su recipročne vrijednosti u matematici. Recimo da imamo broj 7. Tada će njegov inverz biti 7^-1 or ¹/₇. Ako pomnožite ove brojeve, rezultat će biti jedan, tj. 7 7^-1 = 1.

Gotovo isto sa matricama. Reverse takva matrica se zove, pomnoživši je sa originalnom, dobijamo identičnu. Ona je označena kao A^-1.

AA^-1 =E

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

Da biste pronašli inverznu matricu, morate biti u stanju izračunati matrice, kao i imati vještine za obavljanje određenih radnji s njima.

Odmah treba napomenuti da se inverzni može naći samo za kvadratnu matricu, a to se radi pomoću formule u nastavku:

|A| – matrična determinanta;

A^T_M je transponovana matrica algebarskih sabiranja.

Bilješka: ako je determinanta nula, onda inverzna matrica ne postoji.

primjer

Nađimo za matricu A ispod je obrnuto.

rastvor

1. Prvo, pronađimo determinantu date matrice.

2. Sada napravimo matricu koja ima iste dimenzije kao originalna:

Moramo otkriti koji brojevi bi trebali zamijeniti zvjezdice. Počnimo od gornjeg lijevog elementa matrice. Uporednik se nalazi precrtavanjem reda i kolone u kojoj se nalazi, odnosno u oba slučaja na broju jedan.

Broj koji ostaje nakon precrtavanja je traženi minor, tj M₁₁ = 8.

Slično, nalazimo minore za preostale elemente matrice i dobijamo sljedeći rezultat.

3. Definiramo matricu algebarskih sabiranja. Kako ih izračunati za svaki element, razmotrili smo zasebno.

Na primjer, za element a₁₁ algebarsko sabiranje se smatra kako slijedi:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Izvršite transpoziciju rezultirajuće matrice algebarskih sabiranja (tj. zamijenite stupce i redove).

5. Ostaje samo koristiti gornju formulu za pronalaženje inverzne matrice.

Odgovor možemo ostaviti u ovom obliku, bez dijeljenja elemenata matrice brojem 11, jer u ovom slučaju dobijamo ružne razlomke.

Provjera rezultata

Da bismo bili sigurni da smo dobili inverznu vrijednost originalne matrice, možemo pronaći njihov proizvod, koji bi trebao biti jednak matrici identiteta.

Kao rezultat, dobili smo matricu identiteta, što znači da smo sve uradili kako treba.