U ovoj publikaciji razmotrićemo jednu od glavnih teorema euklidske geometrije – Stewartovu teoremu, koja je dobila takvo ime u čast engleskog matematičara M. Stewarta, koji ju je dokazao. Također ćemo detaljno analizirati primjer rješavanja problema za konsolidaciju prezentiranog materijala.
Izjava teoreme
Dan trougao ABC. Pored njega AC tačka uzeta D, koji je povezan sa vrhom B. Prihvatamo sljedeću notaciju:
- AB = a
- BC = b
- BD = str
- AD = x
- DC = i
Za ovaj trokut je tačna jednakost:
Primjena teoreme
Iz Stewartove teoreme mogu se izvesti formule za pronalaženje medijana i simetrala trokuta:
1. Dužina simetrale
pustiti lc je simetrala povučena u stranu c, koji je podijeljen na segmente x и y. Uzmimo druge dvije strane trougla kao a и b… U ovom slučaju:
2. Srednja dužina
pustiti mc je medijan okrenut prema dolje u stranu c. Označimo druge dvije strane trougla kao a и b… Zatim:
Primjer problema
Trougao dat ABC. Na strani AC jednak 9 cm, tačka uzeta D, koji dijeli stranu tako da AD dvostruko duže DC. Dužina segmenta koji povezuje vrh B i tačka D, je 5 cm. U ovom slučaju, formiran trokut ABD je jednakokračan. Pronađite preostale stranice trokuta ABC.
rastvor
Opišimo uslove problema u obliku crteža.
AC = AD + DC = 9 cm. AD više DC dva puta, tj AD = 2DC.
Shodno tome 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. dakle, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Jer trougao ABD – jednakokraki i bočni AD je 6 cm, pa su jednaki AB и BDIe AB = 5 cm.
Ostaje samo pronaći BC, izvodeći formulu iz Stewartove teoreme:
Poznate vrijednosti zamjenjujemo u ovaj izraz:
Na ovaj način, BC = √52 ≈ 7,21 cm.