Izdvajanje korijena kompleksnog broja

U ovoj publikaciji ćemo pogledati kako možete uzeti korijen kompleksnog broja, kao i kako to može pomoći u rješavanju kvadratnih jednačina čiji je diskriminanta manji od nule.

Izdvajanje korijena kompleksnog broja

Kvadratni korijen

Kao što znamo, nemoguće je uzeti korijen negativnog realnog broja. Ali kada su u pitanju kompleksni brojevi, ova radnja se može izvesti. Hajde da to shvatimo.

Recimo da imamo broj z = -9. za √-9 postoje dva korijena:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Provjerimo dobijene rezultate rješavanjem jednačine z² =-9, ne zaboravljajući to i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Tako smo to i dokazali -3i и 3i su korijeni √-9.

Korijen negativnog broja obično se piše ovako:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i itd

Koren na stepen n

Pretpostavimo da su nam date jednačine oblika z = ⁿ√w… Ima n korijenje (z₀, od₁, od₂,…, z_n-1), koji se može izračunati pomoću formule u nastavku:

|w| je modul kompleksnog broja w;

φ – njegov argument

k je parametar koji uzima vrijednosti: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Kvadratne jednadžbe sa kompleksnim korijenima

Izdvajanje korijena negativnog broja mijenja uobičajenu ideju uXNUMXbuXNUMXb. Ako diskriminant (D) manji od nule, onda ne može postojati pravi korijen, ali se oni mogu predstaviti kao kompleksni brojevi.

primjer

Hajde da riješimo jednačinu x² – 8x + 20 = 0.

rastvor

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, ali još uvijek možemo uzeti korijen negativnog diskriminanta:

√D = √-16 = ±4i

Sada možemo izračunati korijene:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Dakle, jednačina x² – 8x + 20 = 0 ima dva kompleksna konjugirana korijena:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i