U ovoj publikaciji ćemo razmotriti šta je Gaussova metoda, zašto je potrebna i koji je njen princip. Takođe ćemo na praktičnom primjeru pokazati kako se metoda može primijeniti za rješavanje sistema linearnih jednačina.
Opis Gaussove metode
Gaussova metoda je klasična metoda sekvencijalne eliminacije varijabli koja se koristi za rješavanje . Ime je dobio po njemačkom matematičaru Carlu Friedrichu Gausu (1777-1885).
Ali prvo, podsjetimo da SLAU može:
- imaju jedno jedino rešenje;
- imaju beskonačan broj rješenja;
- biti nekompatibilni, tj. nemaju rješenja.
Praktične prednosti
Gaussova metoda je odličan način da se riješi SLAE koji uključuje više od tri linearne jednačine, kao i sisteme koji nisu kvadratni.
Princip Gaussove metode
Metoda uključuje sljedeće korake:
- pravo – uvećana matrica koja odgovara sistemu jednačina, svodi se na način iznad redova na gornji trouglasti (stepenasti) oblik, odnosno ispod glavne dijagonale treba da budu samo elementi jednaki nuli.
- natrag – u rezultujućoj matrici, elementi iznad glavne dijagonale su takođe postavljeni na nulu (donji trouglasti pogled).
Primjer SLAE rješenja
Rešimo sistem linearnih jednačina u nastavku koristeći Gaussov metod.
rastvor
1. Za početak predstavljamo SLAE u obliku proširene matrice.
2. Sada je naš zadatak da resetujemo sve elemente ispod glavne dijagonale. Dalje radnje ovise o specifičnoj matrici, u nastavku ćemo opisati one koje se odnose na naš slučaj. Prvo mijenjamo redove, postavljajući na taj način njihove prve elemente uzlaznim redoslijedom.
3. Od drugog reda oduzmite dva puta prvi, a od trećeg – utrostručite prvi.
4. Dodajte drugi red u treći red.
5. Oduzmite drugi red od prvog reda, a istovremeno podijelite treći red sa -10.
6. Prva faza je završena. Sada moramo dobiti nulte elemente iznad glavne dijagonale. Da biste to učinili, oduzmite trećinu pomnoženu sa 7 od prvog reda i dodajte treću pomnoženu sa 5 drugom.
7. Konačna proširena matrica izgleda ovako:
8. Odgovara sistemu jednačina:
odgovor: root SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.