Linearni zavisni i nezavisni redovi: definicija, primjeri

U ovoj publikaciji ćemo razmotriti šta je linearna kombinacija nizova, linearno zavisnih i nezavisnih nizova. Navest ćemo i primjere za bolje razumijevanje teorijskog materijala.

Definiranje linearne kombinacije nizova

Linearna kombinacija (LK) termin s₁sa₂, …, s_n matrica A nazvan izrazom u sljedećem obliku:

αs₁ + αs₂ + … + αs_n

Ako su svi koeficijenti α_i jednaki su nuli, pa je LC trivijalan. Drugim riječima, trivijalna linearna kombinacija jednaka je nultom redu.

Na primjer: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

Prema tome, ako je barem jedan od koeficijenata α_i nije jednako nuli, onda je LC netrivijalan.

Na primjer: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Linearno zavisni i nezavisni redovi

Sistem žica je linearno zavisna (LZ) ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija, koja je jednaka nultoj liniji.

Otuda slijedi da netrivijalni LC može u nekim slučajevima biti jednak nultom nizu.

Sistem žica je linearno nezavisna (LNZ) ako je samo trivijalni LC jednak nultom nizu.

Napomene:

• U kvadratnoj matrici, sistem redova je LZ samo ako je determinanta ove matrice nula (u = 0).
• U kvadratnoj matrici, sistem redova je LIS samo ako determinanta ove matrice nije jednaka nuli (u ≠ 0).

Primjer problema

Hajde da saznamo da li je sistem nizova {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} linearno zavisna.

Odluka:

1. Prvo, napravimo LC.

α₁{3 4} + a₂{9 12}.

2. Hajde sada da saznamo koje vrijednosti treba uzeti α₁ и α₂tako da je linearna kombinacija jednaka nultom nizu.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. Napravimo sistem jednačina:

4. Podijelite prvu jednačinu sa tri, drugu sa četiri:

5. Rješenje ovog sistema je bilo koje α₁ и α₂, With α₁ = -3a₂.

Na primjer, ako α₂ = 2onda α₁ =-6. Zamjenjujemo ove vrijednosti u sistem jednadžbi iznad i dobijamo:

odgovor: pa linije s₁ и s₂ linearno zavisna.