Rang matrice: definicija, metode pronalaženja

U ovoj publikaciji ćemo razmotriti definiciju ranga matrice, kao i metode pomoću kojih se ona može pronaći. Također ćemo analizirati primjere kako bismo demonstrirali primjenu teorije u praksi.

Određivanje ranga matrice

Matrix rang je rang njegovog sistema redova ili kolona. Svaka matrica ima svoje redove i stupce rangove, koji su međusobno jednaki.

Redni sistemski rang je maksimalni broj linearno nezavisnih redova. Na sličan način se određuje rang sistema kolona.

Napomene:

• Rang nulte matrice (označen simbolom “θ“) bilo koje veličine je nula.
• Rang bilo kojeg vektora reda ili vektora stupca koji nije nula jednak je jedan.
• Ako matrica bilo koje veličine sadrži barem jedan element koji nije jednak nuli, tada njen rang nije manji od jedan.
• Rang matrice nije veći od njene minimalne dimenzije.
• Elementarne transformacije izvršene na matrici ne mijenjaju njen rang.

Pronalaženje ranga matrice

Fringing Minor Method

Rang matrice je jednak maksimalnom redu nenulte.

Algoritam je sljedeći: pronađite maloljetnike od najnižih do najviših. Ako je manji nred nije jednak nuli, a svi sljedeći (n+1) jednaki su 0, pa je rang matrice n.

primjer

Da bude jasnije, uzmimo praktičan primjer i pronađemo rang matrice A u nastavku, metodom graničenja maloljetnika.

rastvor

Radi se o matrici 4 × 4, dakle, njen rang ne može biti veći od 4. Takođe, u matrici postoje elementi različiti od nule, što znači da njen rang nije manji od jedan. Pa da počnemo:

1. Započnite provjeru maloljetnici drugog reda. Za početak, uzimamo dva reda prvog i drugog stupca.

Minor je jednak nuli.

Stoga prelazimo na sljedeći mol (prvi stupac ostaje, a umjesto drugog uzimamo treći).

Minor je 54≠0, tako da je rang matrice najmanje dva.

Bilješka: Ako bi se pokazalo da je ovaj minor jednak nuli, dodatno bismo provjerili sljedeće kombinacije:

Ako je potrebno, nabrajanje se može nastaviti na isti način sa nizovima:

• 1 i 3;
• 1 i 4;
• 2 i 3;
• 2 i 4;
• 3 i 4.

Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada bi rang matrice bio jednak jedan.

2. Gotovo odmah smo uspjeli pronaći maloljetnika koji nam odgovara. Dakle, idemo dalje maloljetnici trećeg reda.

Pronađenom minoru drugog reda, koji je dao rezultat različit od nule, dodajemo jedan red i jednu kolonu označenu zelenom bojom (krećemo od druge).

Ispostavilo se da je minor nula.

Stoga mijenjamo drugu kolonu u četvrtu. I u drugom pokušaju uspijevamo pronaći minor koji nije jednak nuli, što znači da rang matrice ne može biti manji od 3.

Bilješka: ako bi se rezultat opet pokazao nula, umjesto drugog reda, odveli bismo četvrti dalje i nastavili potragu za „dobrim“ minorom.

3. Sada ostaje da se utvrdi maloljetnici četvrtog reda na osnovu onoga što je ranije pronađeno. U ovom slučaju, to je onaj koji odgovara determinanti matrice.

Minor je jednak 144≠0. To znači da je rang matrice A iznosi 4.

Redukcija matrice na stepenasti oblik

Rang matrice koraka jednak je broju njenih redova koji nisu nula. Odnosno, sve što treba da uradimo je da dovedemo matricu u odgovarajući oblik, na primer, koristeći , koji, kao što smo već spomenuli, ne menjaju njen rang.

primjer

Pronađite rang matrice B ispod. Ne uzimamo pretjerano složen primjer, jer nam je glavni cilj jednostavno pokazati primjenu metode u praksi.

rastvor

1. Prvo oduzmite udvostručeno prvo od drugog reda.

2. Sada oduzmite prvi red od trećeg reda, pomnožen sa četiri.

Tako smo dobili matricu koraka u kojoj je broj redova koji nisu nula jednaki dva, pa je i njen rang jednak 2.