Fermatov mali teorem

U ovoj publikaciji ćemo razmotriti jednu od glavnih teorema u teoriji cijelih brojeva –  Fermatov mali teoremnazvan po francuskom matematičaru Pjeru de Fermau. Također ćemo analizirati primjer rješavanja problema za konsolidaciju prezentiranog materijala.

Izjava teoreme

1. Početno

If p je prost broj a je cijeli broj koji nije djeljiv sa ponda a^p-1 - 1 podijeljena p.

Formalno je napisano ovako: a^p-1 ≡ 1 (protiv p).

Bilješka: Prosti broj je prirodan broj koji je djeljiv samo sa XNUMX i sam bez ostatka.

Na primjer:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• broj 15 podijeljena 5 bez ostatka.

2. Alternativa

If p je prost broj, a onda bilo koji cijeli broj a^p uporedivo sa a modul p.

a^p ≡ a (protiv p)

Istorija pronalaženja dokaza

Pierre de Fermat je formulisao teoremu 1640. godine, ali je nije sam dokazao. Kasnije je to učinio Gottfried Wilhelm Leibniz, njemački filozof, logičar, matematičar, itd. Vjeruje se da je on već imao dokaz do 1683. godine, iako nikada nije objavljen. Važno je napomenuti da je Leibniz sam otkrio teoremu, ne znajući da je ona već ranije formulirana.

Prvi dokaz teoreme objavljen je 1736. godine, a pripada švajcarskom, nemačkom i matematičaru i mehaničaru Leonhardu Ojleru. Fermatova mala teorema je poseban slučaj Ojlerove teoreme.

Primjer problema

Pronađite ostatak broja 2¹² on 12.

rastvor

Zamislimo broj 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 je prost broj, pa prema Fermatovoj maloj teoremi dobijamo:

2¹¹ ≡ 2 (protiv 11).

Otuda, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (protiv 11).

Dakle, broj 2¹² podijeljena 12 sa ostatkom jednakim 4.