Talesov teorem: formulacija i primjer rješavanja problema

U ovoj publikaciji ćemo razmotriti jednu od glavnih teorema u klasi 8 geometrije - Talesovu teoremu, koja je dobila takvo ime u čast grčkog matematičara i filozofa Talesa iz Mileta. Također ćemo analizirati primjer rješavanja problema za konsolidaciju prezentiranog materijala.

Izjava teoreme

Ako se na jednoj od dvije prave izmjere jednaki segmenti i kroz njihove krajeve se povuku paralelne linije, tada će prelaskom druge prave odsjeći na njoj jednake segmente.

• A₁A₂ =A₂A₃ ...
• B₁B₂ =B₂B₃ ...

Bilješka: Međusobni presek sekanti ne igra ulogu, odnosno teorema je tačna i za prave i za paralelne. Lokacija segmenata na sekantima također nije važna.

Generalizirana formulacija

Talesova teorema je poseban slučaj teoreme proporcionalnog segmenta*: paralelne linije seku proporcionalne segmente na sekantima.

U skladu s tim, za naš gornji crtež vrijedi sljedeća jednakost:

* jer su jednaki segmenti, uključujući, proporcionalni sa koeficijentom proporcionalnosti jednakim jedan.

Inverzna Talesova teorema

1. Za sekante koje se seku

Ako linije sijeku dvije druge prave (paralelne ili ne) i odsjeku jednake ili proporcionalne segmente na njima, počevši od vrha, tada su ove linije paralelne.

Iz inverzne teoreme slijedi:

Potreban uslov: jednaki segmenti trebaju početi od vrha.

2. Za paralelne sekante

Segmenti na obje sekante moraju biti jednaki jedan drugom. Samo u ovom slučaju teorema je primjenjiva.

• a || b
• A₁A₂ =B₁B₂ =A₂A₃ =B₂B₃ ...

Primjer problema

Dat segment AB na površini. Podijelite ga na 3 jednaka dijela.

rastvor

Crtajte iz tačke A direktno a i označi na njemu tri uzastopna jednaka segmenta: AC, CD и DE.

ekstremna tačka E na pravoj liniji a povezati sa tačkom B na segmentu. Nakon toga, kroz preostale tačke C и D paralelno BE nacrtati dvije prave koje sijeku segment AB.

Ovako formirane tačke preseka na segmentu AB dele ga na tri jednaka dela (prema Talesovoj teoremi).