U ovoj publikaciji ćemo razmotriti jednu od klasičnih teorema afine geometrije - Ceva teorema, koja je dobila takvo ime u čast italijanskog inženjera Giovannija Ceva. Također ćemo analizirati primjer rješavanja problema kako bismo konsolidirali prezentirani materijal.
Izjava teoreme
Trougao dat ABC, u kojem je svaki vrh povezan s tačkom na suprotnoj strani.
Tako dobijamo tri segmenta (AA', BB' и CC'), koji se nazivaju cevians.
Ovi segmenti se sijeku u jednoj tački ako i samo ako vrijedi sljedeća jednakost:
|I'| |NE'| |CB'|. | = |prije Krista'| |SHIFT'| |AB'|
Teorema se također može predstaviti u ovom obliku (određuje se u kom omjeru tačke dijele stranice):
Ćeva trigonometrijska teorema
Napomena: svi uglovi su orijentisani.
Primjer problema
Trougao dat ABC sa tačkama DO', B ' и C ' sa strane BC, AC и AB, odnosno. Vrhovi trougla su povezani sa datim tačkama, a formirani segmenti prolaze kroz jednu tačku. Istovremeno, bodovi DO' и B ' snimljeno na sredini odgovarajućih suprotnih strana. Saznajte u kom omjeru je poen C ' deli stranu AB.
rastvor
Nacrtajmo crtež prema uslovima zadatka. Radi naše pogodnosti, usvajamo sljedeću notaciju:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Ostaje samo sastaviti omjer segmenata prema Cevinoj teoremi i zamijeniti prihvaćenu notaciju u nju:
Nakon smanjenja razlomaka dobijamo:
Otuda, AC' = C'B, odnosno tačka C ' deli stranu AB na pola.
Dakle, u našem trokutu, segmenti AA', BB' и CC' su medijane. Nakon što smo riješili problem, dokazali smo da se oni sijeku u jednoj tački (vrijedi za bilo koji trougao).
Bilješka: Koristeći Cevinu teoremu, može se dokazati da se u trouglu u jednoj tački seku i simetrale ili visine.